ملخص
رياضيات السادس الأبتدائي
إعداد
أ.لطيف جاسم محمد
محاضرات القيت على دورة معلمي الرياضيات
في مركز المحافظة للعام التدريبي 2010
الفصل الأول
المجموعات والعمليات عليها :
1. المجموعة : تتكون من عناصر 0 هذه العناصر قد تكون بشراً أو حيوانات أو نباتات أو جماد او حروف أو أعداد أو نقاط أو مستقيمات أو أي شيء 0
2. كتابة المجموعات : تٌكتب عناصر المجموعة ضمن قوسين = { } ، مثال نقول : مجموعة كلمة رحيق هي { ر،ح،ي،ق } 0
3. المجموعة الخالية : هي مجموعة لا تحتوي على أي عنصر بالمجموعة ويرمز لها بالرمز ( Ø ) أو { }، مثال : مجموعة الأعداد الطبيعية التي تقسم على 9 والتي هي أصغر من 4 0
4. المجموعة الجزئية : هي إنتماء كل عنصر من عناصر أي مجموعة الى مجموعة أخرى 0 مثال : مجموعة تلاميذ صفك مجموعة جزئية من تلاميذ مدرستك ، لأن كل تلميذ في صفك هو تلميذ في مدرستك 0
5. تساوي المجموعات : هو أن أي مجموعة تتكون من نفس عناصر مجموعة أخرى ، مثـــــــــــال : أ = { 4،2،1 } ، ب = { 2،1،4 } يعني أ = ب , ب = أ 0
6. تقاطع المجموعات : وهي المجموعة التي تضم جميع العناصر المشتركة بين المجموعات 0 مثال : إذا كان أ = { 6،4،2 } , ب = { 7،6،4 } فإن مجموعة التقاطع هي = { 6،4 } 0
7. إتحاد المجموعات : وهي المجموعة التي تضم جميع العناصر المشتركة وغير المشتركة بين مجموعتين ، مثال : إذا كان س = { 7،2،1 } وص = { 9،7،2 } فأن مجموعة الأتحاد هــــــي { 9،7،2،1 } 0
--------------------------------------------------------------
· كيفية حل التمرين :ش
· ضع الرموز المناسبة في الفراغ لكي تكون العبارة صحيحة أو ضع علامة أو× أمام العبارة التالية :
الرموز هي ، ، ، ، ، ، ،
الرمز الأول ينتمي الى , الثاني لا ينتمي الى , الثالث مجموعة جزئية من , الرابع مجموعة غير جزئية من , والخامس يساوي , السادس لا يساوي , والسابع تقاطع والثامن الأتحاد 0
- 1 –
وتقسم الرموز كالأتي :
العلاقة بين عنصر ومجموعة نستعمل : أو
العلاقة بين مجموعتين نستعمل
أو أو أو
العلاقة بين علاقة مجاميع نستعمل : أو U
1) نمر ____ مجموعة الحيوانات الأليفة0
2) م ____ مجموعة أحرف كلمة رحمه 0
إذا كانت العلاقة بين عنصر ومجموعة العنصر في المقدمة و المجموعة بعد الفراغ فنضع الرمز أو
1) { 5 } __ { 8،6،5،3 }
2) { الأحد ، شباط } ___ مجموعة أيام الأسبوع 0
3) { 1،9،7 }__{ 7،9،1 }
4) { 9،8،5 }__ { 7،9،8}
في المثالين الأول والثاني اذا كانت عناصر المجموعتين غير متساوية نضع الرمز أو أما أذا كانت عناصر المجموعتين متساويتين كما في المثال الثالث والرابع فنضع الرمز أو
1) { علي ، رحيق ، رفل } __ { رحيق ،علي ، محمد} = { علي ، رحيق } 0
2) { حامد ، علي ، رحمه } ___ { علي ،حامد ، لطيف}= { حامد ، علي ، رحمه ، لطيف }0
ننظر في هذه الحالة الى المجموعة الثالثة أذا كانت تضم العناصر المتشابهة من المجموعتين فنضع الرمز
وإذا كانت المجموعة الثالثة تضم جميع عناصر مجموعتين فنضع عناصر الرمز 0
الفصل الثاني
عمليات على الأعداد الطبيعية – القسمة المطولة
يقصد بالأعداد الطبيعية : هي الأعداد من الصفر الى ما لانهاية بالموجب ، يعني { 4،3،2،1،0 ،000 الى عدد غير منتهي } ويرمز لها بالحرف ( ط ) 0
يقصد بالأعداد الصحيحة : هي الأعداد من الصفر الى ما لانهاية بالموجب والسالب ، يعني { 0 ، ±1 ، ±2، ±3 ، 0000 الى عدد غير منتهي } ويرمز لها بالحرف ( ص ) 0
- 2 -
أولاً / القسمة المطولة : وهي قسمة عدد على رقم واحد ، مثال : 1317 ÷ 3 = 439 0
الشرح : نبدأ بالقسمة من الرقم الأول الى اليسار ، وإن لم يقبل نضيف الرقم الذي يليه كما في المثال حيث تم تقسيم 1 على 3 فلا يجوز فأضفنا الرقم 3 وأصبح الرقم 13 وتم التقسيم وكان ناتج القسمة 4
فبعدها نضرب ال 4 في المقسوم عليه وهو 3 وبعدها نضع الناتج تحت العدد 13 وهكذا الى أن تنتهي العملية ويستخرج الناتج 0
حل التمرين :
ثانياً / القسمة على عدد مكون من رقمين : مثال 13432 ÷ 23 = ؟
الشرح : أذا كانت القسمة على عدد مكون من رقمين نبدأ بقسمة أول رقمين من جهة اليسار للعدد المقسوم على العدد المقسوم عليه ، فأذا لم يقبل القسمة نضيف اليه الرقم الذي يليه كما في المثال كي يصبح العدد 134 0
وعند قسمته على 23 نعتبر آحاد كل منهما لا يوجد حيث يصبح 13 ÷ 2 فالناتج هو 6 فعندها نضرب 6 في العدد المقسوم عليه كاملة فأذا نتج عدد أكبر من 134 فننزل الى القرقم الذي يليه وهو 5 وبعدها نكمل العملية
بهذه الطريقة الى أن نحصل على النتيجة 0
ثالثاً / أ1ا كانت القسمة على عدد يتكون من ثلاثة أرقام : مثل 5072 ÷ 317 =
الشرح / نبدأ بقسمة أول ثلاثة أرقام من جهة اليسار على المقسوم عليه فاذا لم يقبل القسمة نضيف اليه الرقم الذي يليه وأذا قبل فنستمر في الحل كما في المثال :
5072 ÷ 317 = فأيضاً نستخدم نفس الحالة نفس الحالة نعتبر آحاد كل منهما لا يوجد حيث يصبح 50 ÷ 31 فالناتج 1 ونستمر بالحل على هذه الشاكلة حتى نستخرج الناتج 0
التحقق من صحة الحل تتم كما يلي :
حل التمرين :
ناتج القسمة × المقسوم عليه + الباقي = المقسوم
مثال : 16 × 317 + 0 = 5072 0
- 3 –
الفصل الثالث
الكسور الأعتيادية والكسور العشرية
جمع وطرح الكسور الأعتيادية :
1) نبدأ بعملية جمع وطرح الأعداد الطبيعية ونقول : 13 + 25 – 16 = 22 لكل عدد طبيعي مقام وهو 1 فعليه تصبح المسالة بالشكل التالي :
ــــــــــــ + ــــــــــــ - ـــــــــــــ = ــــــــــــــ = 22
نستنتج من ذلك أنه أذا تم جمع وطرح كسور ذات مقامات متساوية فسيتم الطرح والجمع على البسوط فقط وينزل نفس المقام أي المقام واحد فقط مثل :
ـــــــــــ + ــــــــــــ - ــــــــــــ = ــــــــــــ = ـــــــــــ 1
2) أذا كانت المقامات مختلفة مثال :
ـــــــــــــ + ــــــــــــــ - ـــــــــــــــ
الحل : نبدأ بتوحيد المقامات وتتم العملية بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات ويصبح المقام الجديد هو 24 وتصبح الكسور كالأتي بعد تقسيم المضاعف على المقامات القديمة
ونضرب الناتج بالبسط 00 ــــــــــــ ــــــــــــ ــــــــــــ
ــــــــــــ ــــــــــــ ــــــــــــ
= ـــــــــــ = ــــــــــــ
3) أذا كانت الكسور مختلفة من عدد وكسر ( عدد كسري ) 00 مثال
ــــــــــــ 3 + ـــــــــــــ 7 + ـــــــــــــ 5
هناك طريقتان للحل :
الأولى هـــــي جمع الأعداد الصحيحة مباشرة حيث 3 + 7 – 5 = 5 ونجد المضاعف المشترك للأعداد 4 ، 3، 6 وهو 12 ـــــــــــ + ـــــــــــ + ــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــــ 15
الثانية : هي تحويل الكسور المختلطة الى كسور أعتيادية وتتم عمليتي الجمع والطرح كما في المثال السابق 0
- 4 -
* ضرب الكسور الأعتيادية : وهو ضرب البسوط في بعضها والمقامات في بعضها بعد الأختصار أن وجد مثال 00
ـــــــــــ × ـــــــــــ = ـــــــــــ = 1 00000 مثال أخر : ــــــــــ × ـــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــــ 2
* أذا كان الكسر يحتوي على عدد صحيح مع كسر ( عدد كسري ) مثال : ـــــــــ × ــــــــــ = نحول العدد الكسري الى صيغة كسر ويصبح كالأتي ــــــــــ × ـــــــــــ = ـــــــــــ = ــــــــــــ 13 0
* قسمة الكسور الأعتيادية :
عند قسمة كسر على كسر نضرب الكسر المقسوم في مقلوب الكسر المقسوم عليه ، مثال :
ـــــــــ ÷ ــــــــــ = ـــــــــــ × ــــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــــ 1
مثال أخر يشمل جميع العمليات الاربعة : ـــــــــ 6 ÷ ــــــــــ - ـــــــــــ 2 × ــــــــــ + ــــــــــ 1
الحل / نجعل الكسور المختلطة بصيغة كسر أعتيادي وتصبح المسألة كالأتي :
ـــــــــ ÷ ــــــــــ - ـــــــــــ × ـــــــــــ + ــــــــــ
ـــــــــــ ÷ ـــــــــــ - ( ــــــــــ × ــــــــــ ) + ـــــــــــ نجعل الكسرين الذي بينهما ضرب بين قوسين
ــــــــــ ÷ ـــــــــ - ــــــــــ + ــــــــــــ
( ـــــــــ ÷ ـــــــــــ ) - ـــــــــــ + ـــــــــــ نجعل الكسرين الذي بينهما قسمة بين قوسين
( ـــــــــ × ــــــــــ ) - ــــــــــ + ـــــــــــ نقلب القسمة الى ضرب ونقلب المقسوم عليه مقام بدل البسط
ـــــــــ - ــــــــــ + ــــــــــ نوحد المقامات بإيجاد المضاعف المشترك وهو 2 ويكون الناتج :
ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــ = ــــــــــ = 10
نستنتج من كل هذه الأمثلة :
01 إن عملية القسمة على كسر هي عملية الضرب في مقلوب الكسر 0
02 حاصل ضرب أي كسر في مقلوبه يساوي واحد 0
03 في حالة وجود أكثر من عملية حسابية ( ×، + ، - ، ÷ ) نبدأ أولاً بتسمية الأعداد الكسرية بأسماء أخرى على صيغة كسر ثم إجراء عملية الضرب ومن ثم قلب عملية القسمة الى ضرب وإجراء
الأختصار في حالة وجود جمع أو طرح نجد المضاعف المشترك الأصغر ونكمل الحل 0
- 5 -
الكسور العشرية
1) جمع وطرح الكسور العشرية
عند جمع أو طرح الأعداد العشرية يجب أن ننتبه الى الفارزة ويجب أن توضع الواحدة فوق الأخرى ونجري اللازم ومن ثم نساوي المراتب بوضع الصفر أو أكثر 0 ويمكن الجمع أو الطرح بصورة أفقية
كما فــــــي المثال 0،3 + 42 , 0 = فتصبح 0،30 + 0,42 = 0,72 00 و 0,1 + 0,001 فيصبح 0,100 + 0,001 = 0,101
---------------------------------------------------------------
2) ضرب الكسور العشرية :
عند ضرب الكسور العشرية نُجري عملية الضرب كما لو كان كل من عاملي الضرب عدداً صحيحاً ثم نفرز من يمين حاصل الضرب مراتب بقدر عدد المراتب العشرية التي يحتويها العاملان معاً ،
مثــــــــــــــــال : 3,4 × 5,1 = 17,34 0
----------------------------------------------------------------
3) قسمة الكسور العشرية :
أ – قسمة كسر عشري على عدد صحيح ، مثال : 0,9 ÷ 3 = 0,3 0
ب – قسمة كسر عشري على كسر عشري أخر ، في هذه الحالة لا بد من جعل المقسوم عليه عدد صحيح وذلك بحذف الفارزة من المقسوم عليه وتحريك الفارزة في المقسوم نحو اليمين عدداً من المراتب العشرية
مساوياً لعدد المراتب العشرية في المقسوم عليه 0 مثال : 0,181 ÷ 0,03 = 18,1 ÷ 3 = 6,3 0
------------------------------------------------------------------
4) تقريب الأعداد العُشرية :
لتقريب أي عدد الى مرتبة معينة ينظر الى الرقم في المرتبة السابقة لها فأن كان 5 أو أكبر من 5 فيحذف رقم تلك المرتبة والمراتب السابقة لها ويوضع بدلها أصفار ويضاف ( 1 ) الى تلك المرتبة ، أما أذا كان
رقم المرتبة السابقة لها أصغر من 5 فيحذف رقم تلك المرتبة والمراتب السابقة لها ويوضعدلها اصفار مثال :
97,451 يصبح 97,5 ، و 88,377 تصبح 88.4 0
- 6 -
الفصل الرابع / الهندسة ـ مفاهيم وإنشاءات هندسية
تعريف الزاوية / هي إتحاد شعاعين لهما نفس نقطة البداية ، مثال : أ ب ج
الشكل الرباعي : يتكون من إتحاد أربع قطع مستقيمة وتسمى هذه القطع المستقيمة أضلاع الشكل الرباعي 0 وللشكل الرباعي أربعة زوايا مجموعها 360 ْ ويمكن تقسيم الشكل الرباعي الى مثلثين قياس
زوايا كل مثلث 180 ْ 0 مثال : الشكل الرباعي أب ج د
----------------------------------------------------------------
* أنواع الزوايا من ناحية المقدار / 1) الحادة وقيمتها من 1 الى 89 ْ ---- 2) القائمة وقيمتها 90 ْ
4) منفرجة وقيمتها من 91 الى 179 ْ ---- 4) المستقيمة وقيمتها 180 ْ
* أنواع الزاوية من ناحية الموقع /
1) الزاويتان المتناظرتان : - هما الزاويتان أللتان تقعان على جهة واحدة من القاطع وتكون وحدة داخل
2)
3)
4)
ملاحظة : تتطابق الزاوية المتناظرة والمتبادلة اذا كان المستقيمان متوازيان 0
استنتاج : أذا كان المستقيمان متوازيان تتطابق الزوايا المتناظرة والمتبادلة 0
- 7 -
الفصل الخامس / النسبة والتناسب
النسبة : هي كسر لأجل المقارنة بين عددين لهما وحدة قياس 0
مثال / عُمر ريام 12 سنة وعُمر أخيها أحمد 16 سنة فما نسبة عُمر ريام الى أحمد ؟
الحل :- ـــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ = ــــــــــــــ ويقرأ نسبة عُمر ريام الى عُمر أحمد 4:3 0
مثال أخر / قطع علي ــــــــ طريق وقطع لطيف ــــــــــ الطريق نفسه فما نسبة ما قطعه على الى ما قطعه لطيف ؟
الحل : ـــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــــ ÷ ـــــــــــ = ـــــــــــ × ـــــــــــ = ــــــــــ
مثال / ما نسبة طول مسطرة الى قياس طول السبورة اذا علمت أن طول المسطرة 15سم وطول السبورة 2م ؟
الحل : طول السبورة = 2 ××100 = 200سم 0
النسبة = ــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــ = ــــــــــ
-----------------------------------------
التناسب : وهي عملية تساوي نسبتين أو أكثر وعند تساوي عدة نسب تسمى العلاقة تنا سبية 0
مثال / ــــــــــ = ــــــــــ ، ـــــــــــ = ــــــــــــ = ــــــــــــ
ملاحظة في كل تناسب يكون حاصل ضرب الطرفين مساوياً لحاصل ضرب الوسطين 0
مثال / ـــــــــ = ـــــــــــ 3 × 6 = 2 × 9
18 = 18
مثال / أذا كان 15 م من قماش يكفي لعمل 5 قمصان فكم قميص يمكن عمله بنفس القياسات من 21 م ؟
الحل : ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــ = ـــــــــــ ، 15 × س = 5× 21 ، 15 س = 105 ، س = ـــــــــ = 7 قميص 0
مقياس الرسم : هو النسبة بين الطول في الرسم الى الطول الحقيقي 0
مثال / صورة طولها 5 سم وعرضها 3سم فأذا أردنا تكبيرها ليصبح طولها 10 سم فكم يصبح عرضها ؟
الحل : ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــ = ــــــــــ ، 5 × س =3 × 10 -- 5 س = 30 --- س = ـــــــــ = 6 سم 0
قانون مقياس الرسم = ــــــــــــــــــــــــــــــــ وأيضاً ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- 8 –
ملاحظة : لحل مسائل مقياس الرسم 0 يجب تحويل الكيلوا مترات الى سنتمترات أي أن البعد على الخارطة يقاس دائما بالسنتمترات والبعد الحقيقي بالكيلوا مترات --- 1كم = 100000 سم 0
مثال : أذا كان البعد بين بغداد والفلوجة على خارطة يساوي 3 سم والبعد الحقيقي بينهما 60 كم فما مقياس الرسم الذي رسمت به تلك الخارطة ؟
الحل : 1 كم = 100000 سم
60 × 100000 = 6000000 سم البعد الحقيقي 0
مقياس الرسم = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ
مثال أخر : أذا كان البعد بين الرمادي والحبانية يساوي 30 كم فكم يكون البعد بين هاتين المدينتين على خارطة مرسومة بمقياس ــــــــــــــــ ؟
الحل : 30 كم = 30 × 100000 = 3000000 سم 0
ــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ ، 1000000 س = 3000000
س = ـــــــــــــــــــــــ = 3سم وهو البعد بين مدينتين على الخارطة 0
------ --------------------------------------------------------
التقسيم التناسبي : نستخدم هذا الموضوع لايجاد الحصص وتوزيعها على الافراد او المجموعات ولهذا الموضوع علاقة بالنسبة والتناسب
مثال / وزع مبلغ 42 دينار بين شخصين بحيث تكون نسبة حصة الاول الى حصة الثاني كنسبة 4:3 فما حصة كل منهما 0
الحل: لحل مثل هذه التمارين تستخرج قيمة الحصة الواحدة وهذا يتم بتقسيم المبلغ الكلي على مجموع الحصص او الفرق بينهما – يعني: 3+4=7 مجموع الحصص -- 42÷ 7=6 دينار قيمة الحصة الواحدة
نصيب الاول هو 6×3=18 دينار نصيب الثاني هو 6×4=24
وللتحقق من هذه المسائل نجمع الحصص بالدينار وعند تحقق المبلغ الكلي يكون الحل صحيح يعني حصة الاول 18 + حصة الثاني 24 اذن= 42 والمبلغ الكلي 42 اذن الحل صحيح 0
مثال اخر|: نسبة عمر علي الى عمر والده كنسبة 5:3 فاذا كان عمر علي يقل عن عمر والده (30 سنة) فما عمر كل منهما 0 فالحل يكون : 5- 3 =2 حصة الفرق بين العمرين 0
- 9 -
30 ÷2 =15 سنة قيمة الحصة الواحدة0
15 ×3 =45 سنة عمر علي0
15 ×5 = 75 سنة عمر والده 0
وللتاكد من الحل :يجب ان يكون الفرق بين العمرين 30 سنة فعليه
75 - 45 =30 سنة الفرق اذن الحل صحيح 0
--------------------------------------------------------------
الفصل السادس/
الاشكال الهندسية:
1) متوازي الاضلاع:وهو شكل رباعي وكل ضلعين متقابلين فيه متساويين ومتوازيين وكل زاويتين متساويتن0
محيط متوازي الاضلاع= مجموع قياس اضلاعه الاربعه او مجموع طول الضلعين المتجاورين ×2
مثال : جد طول محيط متوازي الاضلاع الذي قياس اضلاعه 5 سم ،3 سم ،5سم ،3سم ؟
الحل:5 +3 +5 +3 =16 سم او ( 5+3 ) ×2 =16 سم0
مثال:متوازي اضلاع طول قاعدته 9 سم وارتفاعه 4 سم فما مساحته0
الحل: مساحة متوازي الاضلاع = طول القاعدة × الارتفاع
9 سم × 4 سم =36 سم2 0
2) المعين: وهو شكل رباعي متساوي الاضلاع وكل زاويتين فيه متقابلتين متساويتين0
محيط المعين = طول الضلع × 4
مثال : جد محيط معين طول ضلعه 10 م؟
الحل: محيط المعين = طول الضلع ×4 ---- 5 × 4 =20 م
3) المربع : هو شكل رباعي متساوي الأضلاع والزوايا ( الزوايا القائمة ) --------------------
مساحة المربع = طول الضلع × نفسه
مثال / جد محيط ومساحة مربع طول ضلعه 5م ؟
الحل : المحيط = طول الضلع × 4 ــــــــ 5 × 4 = 20 م
المساحة = طول الضلع × نفسه ــــــــــ 5 × 5 = 25 م2
ملاحظة ( لإيجاد طول ا لمربع واعطاء المساحة تتم عملية التحليل بجذر المساحة )0
مثال أخر / ما طول ضلع مربع المساحة 64 سم2 ؟
الحل : بعد جذر العدد ( 64 ) ينتج 2 × 2 × 2 = 8 سم طول الضلع 0
-------------------------------------------------------------
4) المستطيل / وهو شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متساويين وجميع زواياه متساوية ( الزوايا القائمة ) 0
محيط المستطيل = مجموع قياس أضلاعه الأربعة 0 أو مجموع طول الضلعين المتجاورين × 2 0
--------------------------------------------------------------
مثال / جد محيط ومساحة المستطيل الذي قياس أضلاعه 7 سم ، 3 سم ، 7 سم ، 3 سم ؟
المساحة = 7× 3 = 21 سم2 0
------------------------------------------------------------------
5) المثلث / وهو شكل هندسي يتكون من ثلاثة أضلاع له قاعدة وأرتفاع مجموع زوايا 180 ْ 0
* محيط المثلث = مجموع قياس أضلاعه الثلاث 0
مثال / جد محيط مثلث طوله أضلاعه 5 سم ، 3 سم ، 2 سم ؟
الحل : المحيط = 5 + 3 + 2 = 10 سم 0
مثال / جد مساحة مثلث طول قاعدته 8 سم وأرتفاعه 4 سم ؟
الحل : ــــــــ × القاعدة × الأرتفاع = ــــــــــ × 8 × 4 = 16 سم2 0
- 10 –
6)
*النسبة الثابتة تأتي من قسمة محيط أي دائرة على قطرها وتكون قيمتها ـــــــــ أو 3,14 ونرمز لها بالحرف ( ط ) 0
مساحة الدائرة = نق × نق × النسبة الثابتة أو نق2 × ط 0
مثال / جد مساحة الدائرة التي قطرها 14 سم ؟
الحل : نقسم القطر على 2 لإيجاد نصف القطر ــــــــــــ 14 ÷ 2 = 7 سم 0
مثال / حديقة دائرية الشكل نصف قطرها 21 م يحيطها من الخارج ممر منتظم عرضه 2 م ، أحسب مساحة الممر ؟
الحل : 21 + 2 = 23 م نصف قطر الحديقة والممر ، ومساحة الحديقة والممر = نق2 × ط
و 23 ×23× 3,14 = 1661,06 م2 المساحة 00000 ومساحة الحديقة = نق2 × ط = 21 × 21× 3,14 = 1386 000 أذن 1661,06 – 1386 = 275,06 م2 وهي مساحة الممر 0
--------------------------------------------------------------
الفصل السابع / المجسمات
1) متوازي السطوح المستطيلة (شبه المكعب ) :
هو شكل له ستة اوجه كل وجه هو مستطيل وله ثلاثة ابعاد هي الطول والعرض والارتفاع0
المساحة الجانبية لمتوازي السطوح المستطيلة =محيط القاعدة × الارتفاع 0
مثال / جد المساحة الجانبية لمتوازي السطوح المستطيلة بعدا قاعدته 6س و 3 سم وأرتفاعه 4 سم ؟
الحل : المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الأرتفاع
= ( 6 + 3 + 6 + 3 ) × 4 = 18 × 4 = 72 سم2 0
- 11 –
* المساحة الكلية لمتوازي السطوح المستطيلة = المساحة الجانية + مساحة القاعدتين 0
مثال / جد المساحة الكلية لغرفة طولها 8 م وعرضها 6 م وأرتفاعها 5 م ؟
الحل : المساحة الجانبية للغرفة = 2× ( 6 + 8 ) × 5 = 140 م2 0
مساحة القاعدة ( الأرض ) = 6 × 8 = 48 م2 0
مساحة السقف والقاعدة = 48 × 2 = 96 م2 0
-----------------------------------------------------------------
2) المكعب : وهو شكل له ستة أوجه متساوية في المساحة وكل وجه فيه هو مربع وله ثلاثة أبعاد متساوية وهي تمثل الطول والعرض والأرتفاع 0
المساحة الجانبية للمكعب = مساحة وجه واحد × 4 0
والمساحة الكلية للمكعب = مساحة وجه واحد× 6 0
مثال / جد المساحة الجانبية والكلية لمكعب طول ضلعه 5 سم ؟
الحل : مساحة وجه واحد = 5 × 5 = 25 سم2 0
مثال أخر / المساحة السطحية الكلية لمكعب 24 م2 فما طول ضلع المكعب ؟
الحل : لما كان للمكعب ستة أوجه لذلك فأن : مساحة الوجه الواحد = 24 م2 ÷ 6 = 4 م2 0
ولما كان كل وجه من أوجه المكعب هو مربع لذلك فإن طول الضلع = الجذر التربيعي للعدد 4 أذن طول ضلع المكعب = 2 سم 0
- 12 -
وحدات القياس :
اجزاء المتر:
المتر = 10 دسم
المتر المكعب =1000 دسم 3
الديسمتر =10 سم
الديسمتر المكعب =1000 سم3
السنتمتر =10 ملم
السنتمتر المكعب =1000 ملم3
مضاعفات المتر:
------------------------------
الديكامتر المكعب =1000 متر مكعب
الهيكتو متر المكعب =1000 ديكا متر مكعب
الكيلو متر المكعب = 1000 هيكتو متر مكعب
---------------------------------
قياس السعة :
تقاس السعة باللتر وهي وحدة قياس السوائل
اللتر = 1دسم 3
اللتر = 1000 سم3
مثال :ماهو الجذر التكعيبي للعدد 125 ؟
الحل : الجذر التكعيبي للعدد 125 = 5
عند اعطاء حجم المكعب ويراد أستخراج طول الضلع فإن الجذر التكعيبي يستخرج طول الضلع 0
حجم متوازي السطوح المستطيلة = حاصل ضرب أبعاده الثلاثة 0
= الطول × العرض × الأرتفاع 0
- 13 -
مثال / ما حجم متوازي السطوح المستطيلة الذي طول قاعدته 6 سم و عرضها 4 سم وأرتفاعه 3 سم ؟
الحل : الحجم = الطول ( القاعدة ) × العرض × الأرتفاع = 6 × 4 × 3 = 72سم3 0
حجم المكعب = مكعب طول الضلع = طول الضلع × طول الضلع × طول الضلع 0
مثال / ما حجم المكعب الذي طول ضلعه 10 م ؟
الحل : الحجم = 10 × 10 × 10 = 1000 م3 0
مثال / سبيكة من الذهب حجمها 4 سم3 صنعت منها حلي مكعبة الشكل كول ضلع الواحدة نصف سم فكم من الحلي صنع الصائغ ؟
الحل : حجم المكعب = مكعب طول الضلع = ــــــــ × ــــــــ × ــــــــ = ــــــــ سم3 حجم الحلية الواحدة
4 ÷ ـــــــ = 4 × ــــــــ = 32 حلية صنعها الصائغ 0
مثال أخر : قطعة من المعدن على شكل متوازي السطوح المستطيلة أبعادها 40 ، 30 ، 20 من السنتمترات تحولت جميعها الى مكعبات طول ضلع الواحد 5 سم فما عدد المكعبات ؟
الحل : حجم متوازي المستطيلات ( قطعة المعدن ) = 40 × 30 × 20 = 24000 سم3 0
حجم المكعب = 5 × 5 × 5 = 125سم3 إذن 24000 ÷ 125 = 192 عدد المكعبات 0
--------------------------------------------------------------
الفصل الثامن / الأحصاء
01 الرسم البياني : هو مقارنة لوصف بيانات عن طريق تغييرها 0
مثال / عدد تلاميذ مدرسة 265 موزعين على ستة صفوف كما يلي :
الحل : ..
مثال أخر / لاحظ الرسم البياني وأحسب ما يلي :
1- كم تلميذ أشترك في الأمتحان ؟
ج / 35 + 20 + 10 = 65
2- كم تلميذ نجح ؟ التلاميذ الناجحون = 35
3- كم تلميذ رسب ؟ التلاميذ الراسبون = 10
4- كم تلميذ أكمل ؟ التلاميذ المكملون = 20
3) المعدل الحسابي ( المتوسط الحسابي ) : وهو مجموع الأعداد مقسوم على عدد الأعداد
المعدل الحسابي = مجموع الأعداد ÷ عدد الأعداد
مثال / درجات رحمه في الرياضيات لشهر آذار 90 وفي شهر نيسان 95 ولشهر آيار 94 فما هو المعدل الحسابي للدرجة ؟
الحل : المعدل الحسابي ( المتوسط الحسابي ) = مجموع الأعداد ÷ عدد الأعداد
مجموع الأعداد = 90 + 95 + 94 = 279
عدد الأعداد = 3 أذن المعدل 279 ÷ 3 = 93 0
مثال أخر / أذا علمت أن المعدل الحسابي لأربعة أعداد هو 35 وكان ثلاثة منها 42,24 ,31 فما العدد الرابع ؟
الحل : بما أن الأعداد = 4 ومعدلها الحسابي = 35 أذن مجموع الأعداد هو 35 × 4 أو 35 +35 +35 + 35 = 140
31 + 24 + 42 = 97 مجموع الأعداد الثلاثة 0 أذن 140 – 97 = 43 العدد الرابع 0
مثال / م معدل درجات الحرارة في الاسبوع أذا كانت درجة الحرارة ليوم السبت = 30 ، الأحد = 25 ،
الأثنين = 32 ، الثلاثاء = 20 ، الاربعاء = 25 ، الخميس = 35 ، الجمعه = 27؟
الحل : 30 + 25 + 32 + 20 + 25 + 30 + 27 = 189
و 189 ÷ 7 = 27 معدل درجات الحرارة 0
------------------------------------------------------
مع تحيات المشرف التربوي
لطيف جــــــاسم محمد
